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蝴蝶扇了一下翅膀混沌就诞生了?

2020-10-22分析 0 人已围观

简介  你是否早年想过什么是混沌理论?  给我几分钟,我将给你介绍理论物理中我最喜欢领域之一的基础知识,以及这理论所展现的精巧图画——而这只需要加法和乘法就可以抵达这个效果,准备好被颤抖吧!  混沌诞生之...

  你是否早年想过什么是混沌理论

  给我几分钟,我将给你介绍理论物理中我最喜欢领域之一的基础知识,以及这理论所展现的精巧图画——而这只需要加法和乘法就可以抵达这个效果,准备好被颤抖吧!

  混沌诞生之时

  在上世纪六十年代初期,麻省理工学院的教授爱德华·洛伦兹致力于运用大学里边最新的大型核算机来猜测气候。他推导出了描绘空气对流的一组简略方程,并运用核算机来求解这个方程。

  接下来发生的作业使他大吃一惊:在没有任何随机数引进的状况下(招认系统),核算机运用相同参数两次跑出的效果天壤之别。混沌理论被发现了!

  什么是“招认系统”

  在数学、核算机科学和物理中,招认系统是系统在未来翻开的状况中不涉及到随机数的系统。因而,关于给定的初值或初始状况,其输出效果会一贯相同。

  所以,洛伦兹的气候猜测中,发生了什么?看下面这个比方。

  任选一个随机数

  比方说:0.123267203462345822542,然后在每一步中,将这个数乘以10,再去掉小数点之前的数(相当于进行了操作mod 1)。

  将这个数乘以10

  上面的比方中我们得到:1.23267203462345822542

  去掉小数点之前的数

  得到:0.23267203462345822542

  再次重复乘以10

  2.3267203462345822542

  去掉小数点之前的数:

  0.3267203462345822542

  。。。。。。

  这当然是一个招认系统,彻底没有随机数的引进。

  现在,我的问题来了:你能猜测这些数字的未来翻开状况么?

  答案是“既能也不能”。关于更多有限的进程,可以得出很精确的答案。但是,100步之后呢?标题并没有给出满足的位数。核算机存储小数点之后的位数是固定的(取决于你数字的类型)。一个64位的双精度数有16位十进制的数字,所以,在进行上述的操作15次之后,你将无法获得猜测的效果。假定你会编程,我建议你自己查验一下!在前期的核算机中,这样的方程乃至被用作伪随机数的生成器。

  就算我们知道小数点之后的100或许1000位,在此之后,效果都是不行猜测的,因为在每次操作中,因为删除了小数点之前的数,破坏了信息。因而终究得到的效果,特别依赖于初始条件。

  分叉图——重复 再重复

  到这儿接连,我们先总结一下我们现已得到的定论:

  混沌方程是招认性的方程或许系统(代表没有随机数参加,且清楚核算当时态到未来态的结构),一起非常依赖于初始条件,使得我们不或许猜测久远的未来。

  本文开端的图片是所谓的逻辑图的分叉图的扩展区域(如下图)。读完这篇文章之后,你将了解怎样说明这幅图,这也是整个物理领域中我最喜欢的图之一:)

逻辑图的分叉图逻辑图的分叉图

  这是逻辑图的方程。别忧虑,让我们一起看看一下这个方程表清楚什么。

  逻辑图描绘了种群数目模型,该模型包含两个操控种群规划的敌视部分:种群的繁殖和因为食物供给有限导致的去世。假定种群中没有生命,x便是0;x=1代表着种群现已抵达了最大值(因为食物有限),r是繁殖率。

  下标i代表在时刻i时的种群数目,下标i+1代表下一个时刻的种群数目。这代表着,假定我们知道现在这个时刻的种群数目以及繁殖率,就可以核算下一个时刻的种群数目。

  可以举一个简略的比方。简略起见,假定繁殖率r=1,假定种群初始数目为最大数意图80%,即x0=0.8。

  这代表着种群从最大或许种群的80%缩减到16%。原因是种群没有繁殖出满足的数量,也没有满足的食物来坚持现有的x=0.8种群。

  方程中的 “1×0.8”代表出世的人口。繁殖率越高,出世数目就越多。这儿我们把繁殖率取为1,因而下一步中效果仍为0.8;

  “1-0.8”部分代表因饥饿导致的去世。“r·x0=1×0.8” 这一项乘以系数“1-0.8=0.2”,代表5个生物中有4个饿死了。x的值越挨近1,越多的生物会去世。(幸而,这只是模型。)

  那么照这样下去这些会怎样翻开呢?下面的图展现了种群随时刻翻开的趋势。图中发生了什么呢?种群x趋于0,代表生物的出世率小于去世率,因而终究会灭绝。

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